מה הקשר בין בחירות, חמור ותורת המשחקים?
ד"ר נירה יקואל
קטע זה נכתב קצת אחרי מערכת בחירות 2019 מועד ב', ולפני ההכרזה (אם תהיה כזו) של בחירות מועד ג'. ואני פונה אליך, המתלבט (או המתלבטת), זה אשר עד הרגע האחרון לא היה משוכנע אם להצביע למפלגה A או למפלגה B. ואולי בכלל למפלגה C. ברצוני להציע לך שיטת הצבעה יעילה אשר תשקף באופן מיטבי את העדפותיך האמיתיות. השיטה פשוטה להפליא – מתלבט? תערוך הגרלה. "הגרלה?" שואל המתלבט. "שאני אפקיר את גורל המדינה בידי הגורל?"
מסתבר, שבמקרים רבים, גם בטבע וגם בהתנהגות אנושית, הגרלה (בתורת המשחקים הגרלה נקראת אסטרטגיה מעורבת) מספקת תוצאה יעילה במצבים של עימות או של אי-ודאות. ניקח לדוגמה את משל החמור של בּוּרידן. בורידן מתאר חמור, אשר ניצב במרחק שווה בין שתי ערימות של שיבולת שועל (ישנן גרסאות שונות לאותו משל). החמור אינו מסוגל להחליט לאיזה צד לפנות קודם, ולכן נשאר במקומו ומת ברעב. אילו החמור היה עורך הגרלה, למשל על ידי הטלת מטבע, היה יכול להימנע מגורלו הטראגי…
נחזור לעניין ההגרלה בקלפי. כיצד יערוך המתלבט את ההגרלה בפועל? נניח, לצורך העניין, שחברנו אכן מתלבט בין מפלגות A, B ו-C, אבל לא בהכרח במשקלים שווים. אם היינו מבקשים ממנו לשקלל את העדפותיו, היה נותן 50% למפלגה A, 40% למפלגה B ו-10% למפלגה C (וביחד כמובן 100%). בשיטת ההצבעה הרגילה היה המתלבט שם במעטפה פתק אחד של המפלגה אותה הוא מעדיף על פני האחרות, כלומר מפלגה A (בתורת המשחקים, בחירת פעולה אחת ללא הגרלה, נקראת אסטרטגיה טהורה), ואילו העדפותיו למפלגות האחרות לא היו באות לידי ביטוי. כעת, בבואו לקלפי, נציע למתלבט לבחור בשיטה הבאה: קח 5 פתקים של מפלגה A, 4 פתקים של מפלגה B ופתק אחד של מפלגה C (על פי שקלול העדפותיו האמיתיות), ערבב את הפתקים מאחורי הגב ובחר פתק אחד באופן אקראי! את הפתק הנבחר שים בתוך המעטפה (את יתר הפתקים תחזיר למקום, שלא יחסר).
שואל המתלבט: "ואם הפתק שנבחר באקראי הוא דווקא של מפלגה C? כיצד הדבר משקף את העדפותיי? הרי את מפלגה C שקללתי רק ב-10%!" ובכן, התשובה לשאלה זו מתחלקת לשלושה חלקים: 1) לקול של אדם יחיד ממילא יש השפעה אפסית על תוצאות הבחירות, ולכן אין זה משנה איזה פתק תשים במעטפה (ואם הבוחר שלנו הוא אדם רציונלי, ייתכן שיבחר לא להצביע כלל! תופעה זו נקראת בעיית הטרמפיסט, והיא אחראית לאחוזי הצבעה נמוכים באוכלוסיות גדולות). 2) את כדאיות ההגרלה בוחנים מראש ולא בדיעבד. למה הכוונה? תארו לכם אדם רוכש כרטיס לוטו בתקווה לזכות בפרס הגדול. לאחר ההגרלה, כאשר מתברר לו שלא זכה, הוא טוען שזו הייתה טעות לקנות כרטיס, מכיוון שבכרטיס שלו לא היו המספרים הזוכים. באופן דומה, הצבעה בשיטת ההגרלה משקללת את כל ההעדפות של הבוחר מראש, כך שבתוחלת (שקלול ההסתברויות בתוצאות האפשריות) היא נותנת את התוצאה המיטבית. 3) הצבעה בשיטת ההגרלה תהיה יעילה יותר מבחינה סטטיסטית (קרובה יותר להעדפות האמיתיות), ככל שיותר אנשים ישתמשו בשיטה זו בבואם לבחור בקלפי.
"כיצד?" שואל המתלבט. תאר לך, 500 אנשים בעלי העדפות דומות לשלך (באוכלוסייה גדולה, סביר להניח שניתן למצוא מספיק אנשים בעלי העדפות דומות). על פי שיטת ההצבעה הרגילה, כל אותם האנשים ישימו בקלפי את הפתק של המפלגה A (המפלגה אשר הם משקללים באחוז הגבוה ביותר, בדיוק כמוך). וכך, במקום שמפלגה A תזכה לייצוג של 50% מקולותיהם (על פי העדפותיהם האמיתיות), היא תזכה ל-100% מהקולות ואילו מפלגות B ו-C לא יזכו לייצוג כלל!! לעומת זאת, אם אותם 500 אנשים יצביעו בשיטת ההגרלה לעיל, מבחינה סטטיסטית הבחירה שלהם תהיה קרובה יותר להעדפות האמיתיות, קרי 50% למפלגה A, 40% למפלגה B, ו-10% למפלגה C. בדיוק באותו אופן, עבור 500 אנשים אחרים בעלי העדפות דומות (אבל שונות משלך), הצבעה בשיטת ההגרלה תקרב אותם סטטיסטית להעדפות החברתיות שלהם.
ושוב, מקשה המתלבט ושואל "ואם, למשל, 500 איש מעדיפים 60% כחול ו-40% אדום, ו-500 אנשים אחרים מעדיפים 40% כחול ו-60% אדום – איזו תועלת נותנת שיטת ההגרלה במקרה כזה? והרי בשקלול תוחלת הקולות בשיטת ההגרלה יהיו 500 קולות כחולים ו-500 קולות אדומים, בדיוק כמו בשיטת ההצבעה הרגילה!" זוהי דוגמה להתפלגות העדפות סימטרית לחלוטין. וצודק המתלבט, אם התפלגות ההעדפות היא סימטרית לחלוטין, אכן שיטת ההגרלה אינה יעילה יותר משיטת ההצבעה הרגילה. יחד עם זאת, יותר סביר להניח שהתפלגות ההעדפות באוכלוסייה איננה סימטרית לחלוטין. ולכן, כאשר מדובר באוכלוסייה גדולה, ברוב המוחלט של המקרים שיטת ההגרלה יעילה יותר (מבחינת התאמתה להעדפות החברה), ורק במקרים נדירים תהיה זהה בתוצאותיה לשיטת ההצבעה הרגילה.
אסיים ואומר כי הגרלה אשר נובעת משקלול של העדפות, אין פירושה להפקיר את גורלכם ביד המזל. כך שאם אינכם יודעים במי לבחור – פשוט תערכו הגרלה. זכרו מה שקרה לחמור של בורידן.
